⚙️ regras de inferência · guia essencial

As regras de inferência são padrões de raciocínio válido que permitem derivar conclusões a partir de premissas. Elas são a base da dedução natural e da lógica formal. Dominar essas regras é fundamental para construir argumentos sólidos, provar teoremas e verificar a validade de raciocínios.

🔹 regras fundamentais

Modus Ponens (MP)

\(P \rightarrow Q\)
\(P\)
\(\therefore Q\)

Exemplo: "Se chover, a rua fica molhada. Choveu. Logo, a rua está molhada."

Modus Tollens (MT)

\(P \rightarrow Q\)
\(\neg Q\)
\(\therefore \neg P\)

Exemplo: "Se chover, a rua fica molhada. A rua não está molhada. Logo, não choveu."

Silogismo Hipotético (SH)

\(P \rightarrow Q\)
\(Q \rightarrow R\)
\(\therefore P \rightarrow R\)

Exemplo: "Se estudo, passo no concurso. Se passo no concurso, viajo. Logo, se estudo, viajo."

Silogismo Disjuntivo (SD)

\(P \lor Q\)
\(\neg P\)
\(\therefore Q\)

Exemplo: "Vou ao cinema ou ao teatro. Não vou ao cinema. Logo, vou ao teatro."

Dilema Construtivo

\((P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S)\)
\(P \lor R\)
\(\therefore Q \lor S\)

Exemplo: "Se estudo, passo; se descanso, relaxo. Estudo ou descanso. Logo, passo ou relaxo."

Dilema Destrutivo

\((P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S)\)
\(\neg Q \lor \neg S\)
\(\therefore \neg P \lor \neg R\)

Exemplo: "Se estudo, passo; se descanso, relaxo. Não passo ou não relaxo. Logo, não estudo ou não descanso."

🔸 regras de introdução e eliminação

Na dedução natural, cada conectivo tem regras de introdução (como prová-lo) e eliminação (como usá-lo).

Conjunção (\(\land\))

• Introdução (I∧): de \(P\) e \(Q\), infira \(P \land Q\).
• Eliminação (E∧): de \(P \land Q\), infira \(P\) (ou \(Q\)).

Disjunção (\(\lor\))

• Introdução (I∨): de \(P\), infira \(P \lor Q\) (qualquer).
• Eliminação (E∨): de \(P \lor Q\), \(P \rightarrow R\), \(Q \rightarrow R\), infira \(R\).

Condicional (\(\rightarrow\))

• Introdução (I→): se a partir de \(P\) (hipótese) derivamos \(Q\), então infira \(P \rightarrow Q\).
• Eliminação (E→): Modus Ponens.

Negação (\(\neg\))

• Introdução (I¬): se de \(P\) derivamos contradição, infira \(\neg P\).
• Eliminação (E¬): de \(\neg P\) e \(P\), infira contradição.

🔄 regras derivadas

Algumas regras podem ser derivadas das básicas, mas são úteis como atalhos:

• Modus Tollens (já visto) pode ser derivado de Modus Ponens + contrapositiva.
• Silogismo Disjuntivo pode ser derivado de eliminação da disjunção.
• Absorção: \(P \rightarrow Q \vdash P \rightarrow (P \land Q)\).
• Exportação: \((P \land Q) \rightarrow R \vdash P \rightarrow (Q \rightarrow R)\).
• Importação: \(P \rightarrow (Q \rightarrow R) \vdash (P \land Q) \rightarrow R\).

📝 exemplos de provas

Exemplo 1: Prove \(P \rightarrow Q, \neg Q \vdash \neg P\).

1. \(P \rightarrow Q\) (premissa)
2. \(\neg Q\) (premissa)
3. Suponha \(P\) (para prova indireta)
4. De 1 e 3, Modus Ponens: \(Q\)
5. Contradição entre 2 e 4
6. Logo, \(\neg P\) (redução ao absurdo)

Exemplo 2: Prove \(P \lor Q, P \rightarrow R, Q \rightarrow R \vdash R\).

1. \(P \lor Q\) (premissa)
2. \(P \rightarrow R\) (premissa)
3. \(Q \rightarrow R\) (premissa)
4. De 2: \(P \rightarrow R\)
5. De 3: \(Q \rightarrow R\)
6. Aplicando eliminação da disjunção (E∨) em 1,4,5: \(R\)

Esta é a regra de eliminação da disjunção (prova por casos).

🌐 extensão para primeira ordem

Na lógica de predicados, acrescentam-se regras para quantificadores:

• Introdução universal (I∀): se \(P(c)\) para um c arbitrário, infira \(\forall x P(x)\).
• Eliminação universal (E∀): de \(\forall x P(x)\), infira \(P(t)\) para qualquer termo t.
• Introdução existencial (I∃): de \(P(t)\), infira \(\exists x P(x)\).
• Eliminação existencial (E∃): de \(\exists x P(x)\) e \(P(c) \rightarrow Q\) (c nova), infira \(Q\).

🧠 importância das regras de inferência

Elas são a base de:

• Dedução natural e cálculo de sequentes (fundamentos da lógica).
• Sistemas de prova automatizados (teoremas provadores).
• Verificação de programas e hardware.
• Argumentação jurídica e filosófica.
• Desenvolvimento do raciocínio crítico.

\(\displaystyle \frac{P \rightarrow Q \quad P}{Q}\ \text{(Modus Ponens)} \qquad \frac{P \rightarrow Q \quad \neg Q}{\neg P}\ \text{(Modus Tollens)}\)

✦ “Regras de inferência são o esqueleto da lógica.” ✦