Número de Elementos da União de Dois Conjuntos

Em teoria dos conjuntos, a união de dois conjuntos \(A\) e \(B\), denotada por \(A \cup B\), é o conjunto de todos os elementos que pertencem a \(A\), a \(B\), ou a ambos. O número de elementos da união de dois conjuntos pode ser calculado usando o princípio da inclusão-exclusão.

Princípio da Inclusão-Exclusão

O princípio da inclusão-exclusão é uma fórmula fundamental para calcular o número de elementos na união de dois conjuntos. A fórmula é dada por:

\[ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \]

Onde:

• \(n(A \cup B)\) é o número de elementos na união dos conjuntos \(A\) e \(B\).
• \(n(A)\) é o número de elementos no conjunto \(A\).
• \(n(B)\) é o número de elementos no conjunto \(B\).
• \(n(A \cap B)\) é o número de elementos na interseção dos conjuntos \(A\) e \(B\).

Exemplo de Cálculo

Vamos considerar um exemplo prático para ilustrar o uso do princípio da inclusão-exclusão. Suponha que temos dois conjuntos:

• \(A = \{1, 2, 3, 4\}\)
• \(B = \{3, 4, 5, 6\}\)

Primeiro, calculamos o número de elementos em cada conjunto:

\(n(A) = 4\) (elementos: 1, 2, 3, 4)

\(n(B) = 4\) (elementos: 3, 4, 5, 6)

Em seguida, calculamos o número de elementos na interseção dos conjuntos \(A\) e \(B\):

\(A \cap B = \{3, 4\}\)

\(n(A \cap B) = 2\) (elementos: 3, 4)

Agora, aplicamos a fórmula do princípio da inclusão-exclusão:

\[ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \]

\[ n(A \cup B) = 4 + 4 - 2 = 6 \]

Portanto, o número de elementos na união dos conjuntos \(A\) e \(B\) é 6. O conjunto \(A \cup B\) é \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}.

Aplicações do Princípio da Inclusão-Exclusão

O princípio da inclusão-exclusão é amplamente utilizado em diversas áreas da matemática, incluindo análise combinatória, teoria da probabilidade e estatística. Ele ajuda a resolver problemas que envolvem contagem de elementos em conjuntos sobrepostos.