Lógica Proposicional

🧠 lógica proposicional · verdade, tabelas & equivalências

📘 Definição e exemplos

A lógica proposicional estuda proposições — frases declarativas que podem ser julgadas como verdadeiras ou falsas (valoração V ou F). Exemplos clássicos: "2 é par" (V), "7 < 3" (F). Combinando proposições com conectivos lógicos (\(\land, \lor, \neg, \rightarrow, \leftrightarrow\)), criamos fórmulas complexas.

\[ P: \text{"O número 24 é múltiplo de 3"} \quad (\text{V}) \\ Q: \text{"Brasília é a capital do Brasil"} \quad (\text{V}) \\ P \land Q \equiv V \]

🔹 Proposições simples e compostas

Uma proposição simples não contém conectivos. Já as compostas combinam duas ou mais proposições por meio de operadores. Exemplo: "O número 24 é divisível por 3 e 12 é o dobro de 24" (composta pela conjunção "e"). O valor lógico da composta depende das simples e dos conectivos.

• Conjunção (\( \land \)): \(P \land Q\) é V sse \(P\) e \(Q\) forem V.
• Disjunção (\( \lor \)): \(P \lor Q\) é V sse ao menos um for V.
• Condicional (\( \rightarrow \)): \(P \rightarrow Q\) é F apenas se \(P\) for V e \(Q\) F.
• Bicondicional (\( \leftrightarrow \)): \(P \leftrightarrow Q\) é V quando ambos têm mesmo valor.

📊 Tabela-verdade

A tabela-verdade enumera todas as combinações de valores das proposições componentes e o resultado da expressão. Exemplo para \(P \land Q\):

P	Q	P ∧ Q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Ela é fundamental para definir equivalências e validar argumentos.

🔄 Equivalência lógica

Duas proposições são logicamente equivalentes (\(P \equiv Q\) ou \(P \Leftrightarrow Q\)) quando possuem a mesma tabela-verdade. Exemplo clássico: a contrapositiva \(P \rightarrow Q\) equivale a \(\neg Q \rightarrow \neg P\).

\[ (P \rightarrow Q) \equiv (\neg P \lor Q) \quad \text{e} \quad \neg (P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q \]

⚡ Leis de Morgan

As Leis de Morgan estabelecem equivalências fundamentais envolvendo negação de conjunções e disjunções:

• \(\neg (P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q\)
• \(\neg (P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q\)

Essas regras são amplamente usadas em simplificações de expressões booleanas e em demonstrações.

\[ \overline{P \cdot Q} = \overline{P} + \overline{Q} \quad\text{(notação alternativa)} \]

📋 Diagrama de Venn

Embora originalmente para conjuntos, diagramas de Venn ajudam a visualizar operações lógicas quando interpretamos proposições como conjuntos (regiões onde a proposição é verdadeira). A área de sobreposição de \(P\) e \(Q\) corresponde à conjunção \(P \land Q\); a união das áreas, à disjunção \(P \lor Q\).

📌 venn Representação de interseções e uniões – análogo a conectivos lógicos.

▶️ vídeo Lógica proposicional: conectivos, tabelas e exercícios.

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