Introdução à Lógica Matemática

A lógica matemática, também conhecida como lógica simbólica, é o ramo da matemática que estuda o raciocínio e a demonstração. Este campo se desenvolveu significativamente no século XIX, principalmente através das ideias do matemático inglês George Boole (1815-1864), criador da Álgebra Booleana. A lógica matemática utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações.

Proposições

Em lógica matemática, proposições são sentenças declarativas que podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas. As proposições devem satisfazer aos seguintes princípios fundamentais:

• Princípio do Terceiro Excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não há uma terceira opção.
• Princípio da Não Contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Uma proposição verdadeira tem valor lógico V (verdadeiro), enquanto uma proposição falsa tem valor lógico F (falso). Os valores lógicos também podem ser representados por 1 (para verdadeiro) e 0 (para falso).

Exemplos de Proposições

As proposições são indicadas por letras latinas minúsculas, como p, q, r, s, t, u, etc. Aqui estão alguns exemplos:

• p: "A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º" (V)
• q: "3 + 5 = 2" (F)
• r: "7 + 5 = 12" (V)
• s: "A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por Si = (n - 2) * 180º" (V)
• t: "O Sol é um planeta" (F)
• w: "Um pentágono é um polígono de dez lados" (F)

Símbolos Utilizados na Lógica Matemática

A lógica matemática utiliza uma série de símbolos para representar operações lógicas e relações. Aqui estão alguns dos principais símbolos:

• ∼: negação
• ∧: e (conjunção)
• ∨: ou (disjunção)
• →: se ... então (condicional)
• ↔: se e somente se (bicondicional)
• |: tal que
• ⇒: implica
• ⇔: equivalente
• ∃: existe
• ∃! ou ∃∃∃∃||: existe um e somente um
• ∀: qualquer que seja

Operações Lógicas

As proposições podem ser combinadas usando operadores lógicos para formar proposições compostas. Algumas das operações lógicas mais comuns são:

• Conjunção (p ∧ q): "p e q" - verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras.
• Disjunção (p ∨ q): "p ou q" - falsa somente quando ambas as proposições são falsas.
• Condicional (p → q): "se p então q" - falsa somente quando p é verdadeira e q é falsa.
• Bicondicional (p ↔ q): "p se e somente se q" - verdadeira somente quando as proposições têm o mesmo valor lógico.

A tabela verdade é uma ferramenta usada para determinar o valor lógico de uma proposição composta com base nos valores lógicos das proposições simples que a compõem.

Exemplo de Tabela Verdade

Considere as proposições simples p e q. A tabela verdade para as operações lógicas seria:

p	q	p ∧ q	p ∨ q	p → q	p ↔ q
V	V	V	V	V	V
V	F	F	V	F	F
F	V	F	V	V	F
F	F	F	F	V	V